Содержание
Декабрь 2019
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
« Ноя    
 1
2345678
9101112131415
16171819202122
23242526272829
3031  
Поисковый анализ сайта

Архивы автора

postheadericon Понятие логарифма

Логарифмом положительного числа b по основанию a (где а>0, а ≠ 1) называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить число b. Например,

Если а>0, а ≠ 1, b>0, то верно равенство

, называемое основным логарифмическим тождеством.

Отметим основные свойства логарифмов:

Заметим, что если в свойствах 1-3 числа b и а — положительные, то знак модуля можно опускать.

Десятичный логарифм числа — это логарифм с основанием, равным 10, например lg5, lg12. Натуральный логарифм числа — это логарифм с основанием, равным числу е, например, ln7, ln27, e≈2,7. Десятичные и натуральные логарифмы обладают теми же свойствами, что и логарифмы чисел с любым положительным основанием.

Логарифмирование - это преобразование, при котором логарифм выражения приводится к сумме или разности логарифмов.

Потенцирование — это преобразование, обратное логарифмированию.

 

 

 

postheadericon Прямая и обратная пропорциональные зависимости

 

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений величин равны.

Пример:

Масса керосина прямо пропорциональна его объему; 2 л керосина весят 1,6 кг; 3 л весят 2,4 кг; 5 л — 4 кг. Отношение массы к объему постоянно.

Задачи на пропорциональные величины можно решать с помощью пропорций.

Задача 1

Теплоход прошел расстояние 150 км за 4 ч. За сколько времени теплоход пройдет 200 км, если будет двигаться с той же скоростью?

Решение

Обозначим искомое время х (ч). Запишем кратко условие задачи:

При постоянной скорости движения имеем прямо пропорциональную зависимость: чем больше расстояние, тем больше времени требуется на его преодоление (стрелки на схеме направлены в одну сторону).

Составим и решим пропорцию:

Ответ: за 6 ч 40 мин.

Задачи на проценты также основаны на прямо пропорциональной зависимости и могут быть решены с помощью пропорции.

Задача 2

За 2 дня убрали урожай с 15% поля. За сколько дней будет убрано 75% этого поля при тех же условиях работы?

Решение


Ответ: 75% поля будет убрано за 10 дней.

Задачи на проценты обладают, как правило, большой практической направленностью. К составлению и решению пропорций часто прибегают также при решении задач по физике и химии.

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Задача 3

Для перевозки груза потребовалось 24 машины грузоподъемностью 7,5 т. Сколько нужно машин грузоподъемностью 4,5 т, чтобы перевезти тот же груз?

Решение

При уменьшении грузоподъемности одной машины количество требуемых машин увеличивается (стрелки на схеме направлены в разные стороны). Две величины, упоминаемые в задаче, обратно пропорциональны. Имеем пропорцию:

Ответ: нужно 40 машин.

postheadericon Понятие пропорции

Пропорцией называется равенство двух отношений.

В буквенном виде пропорцию можно записать так:

 

(1)

 

 

 

Запись (1) читают так: «Отношение а к b равно отношению с к d» или: «а так относится к b, как с относится к d».

Числа а и d в пропорции (1) называют крайними членами, а числа b и с - средними членами пропорции.

Примеры пропорций:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пропорции обладают следующими свойствами.

1. Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов. Это свойство называют основным свойством пропорции.

2. Крайние члены пропорции можно поменять местами, то есть если

, то 

3. Средние члены пропорции можно поменять, то есть если

Применяя последовательно второе и третье свойство, получим, что если

, то есть если два отношения равны, то равны и обратные им отношения.

Используя основное свойство пропорции, можно найти ее неизвестный член, если три остальных члена известны.

Пример:

 

Пропорция, в которой средние члены равны, называется непрерывной, например, 25:15= 15:9.

Средний член непрерывной пропорции есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) крайних членов.

postheadericon Признаки делимости

Сформулируем основные свойства суммы и произведения, необходимые для рассмотрения признаков деления.

1. Если каждое слагаемое делится на данное число, то и сумма делится на это число.

Замечания:

1.1 Если одно из слагаемых не делится на данное число, а другое число делится, то сумма не делится на это число.

1.2 Если ни одно слагаемое не делится на данное число, то сумма может делится, а может не делится на данное число.

2. Если хотя бы один из множителей делится на данное число, то и произведение делится на данное число.

Замечания:

2.1 Если ни один из множителей не делится на данное число, то произведение может делится, а может не делится на это число.

Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называются четными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9 — нечетными.

Сформулируем признаки делимости на 2, 5, 3, 9, 10.

I. Если натуральное число оканчивается четной цифрой, то оно делится на 2.

Натуральные числа, которые делятся на 2, называют четными, остальные - нечетными. 

II. Если натуральное число, оканчивается цифрой 5 или цифрой 0, то оно делится на 5 (признак делимости на 5).

III. Если сумма цифр натурального числа делится на 3, то само число делится на 3 (признак делимости на 3).

IV.  Если сумма цифр натурального числа делится на 9, то само число делится на 9 (признак делимости на 9).

Например, число 3762 делится на 3 и на 9, так как сумма цифр 3+7+6+2=18 делится на 3 и на 9. Заметим, что данное число делится на 2, так как оно оканчивается на четную цифру.

V. Если  натуральное число оканчиваются цифрой 0, то оно делится на 10 (признак делимости на 10).

postheadericon Делители и кратные

Натуральное число, на которое делится без остатка данное натуральное число, называется делителем данного числа.

Пример: число 42 имеет 8 делителей: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.

Натуральное число, которое делится на данное натуральное число без остатка, называется кратным данному числу. 

Пример: числа 45, 70, 65, 25, 10 — кратные числа 5, так как каждое из данных чисел делится на 5 без остатка.

Задача:

В классе 30 учеников. На уроках физкультуры они  обычно строятся в две шеренги. Можно ли построить из в 3 одинаковые шеренги, в 5 одинаковых шеренг, в 9 одинаковых шеренг? Ответ поясните.

postheadericon Вычитание натуральных чисел. Законы вычитания

а             -              b           =            c

уменьшаемое      вычитаемое       разность

Вычесть из числа а число b — значит найти такое число с, которое при  сложении с b дает число а: b+c=a.

Вычитание многозначных чисел производится поразрядно:

 

 

 

 

 

Законы вычитания

Свойства действия вычитания:

1) закон вычитания из суммы числа:

(a+b)-с = (a-c)+b, если а>c или а=с;

2) закон вычитания из числа суммы:

а-(b+c) = (a-b)-c;

3) закон вычитания из числа числа:

а-а=0;

4) закон вычитания из числа нуля:

а-0=а;

5) закон вычитания из суммы суммы:

(а+b) — (c+d) = (a-c) + (b-d), если а > с или а=с, b>d или b=d

Задача:

Вычислите удобным способом:

1) (4981-2992)-808;

2) (3975+5729) — (5729+975).

Решение:

Применяем 2-й и 5-й законы вычитания:

1) (4981-2992)-808 = 4981 — (2992 + 808) = 4981 — 3800 = 1181;

2) (3975+5729) — (5729+975) = (3975 — 975) + (5729 — 5729) = 3000 + 0 = 3000.

postheadericon Координатный луч

Начертим луч ОХ так, чтобы он шел слева направо (рис. 1). Точку О называют точкой отсчета, ей соответствует число 0. Напишем число 0 над точкой О. Отметим на луче какую-нибудь точку А. Напишем над точкой А число 1. Отрезок ОА называется единичным отрезком. Затем на луче отложим последовательно отрезки, равные отрезку ОА, поставим точки В, С, D, Е и т.д. Поставим над точками числа 2, 3, 4, 5 и т. д. Получим бесконечную шкалу, называемую координатным лучом. Числа 0, 1, 2, 3 … называют координатами точек О, А, В, С … и записывают как О(0); А(1); В(2); С(3) и т.д.

 

postheadericon Буквенные выражения. Значения буквенных выражений.

Выражение, содержащее букву, которой обозначено неизвестное нам число, называется буквенным выражением. Подставив вместо буквы некоторое число, получим значение буквенного выражения при указанном значении буквы.

Если даны значения букв, входящих в буквенное выражение, то при подстановке их в выражение все одинаковые буквы заменяются одними и теми же значениями.

Пример:

Найдем значение буквенного выражения

(3а — 0,2) : (а — 5) + 2,2b,

при:

1) а = 5, b = 7;

2) а = 10, b = 0,1;

Решение:

1) (3 х 5 — 0,2) : (5 — 5) + 2,2 х 7.

Найти значение этого числового выражения нельзя, так как на 0 делить нельзя.

2) (3 х 10 — 0,2) : (10 — 5) + 2,2 х 0,1 = 29,8 : 5 + 0,22 = 6,18.

postheadericon Деление на десятичную дробь

Чтобы выполнить деление на десятичную дробь, нужно:

1) Отбросить в делителе запятую и установить, во сколько раз увеличивается делитель;

2) увеличить во столько же раз делимое;

3) разделить новое делимое на новый делитель.

Например, разделим 31,26 на 0,015. В соответствии с правилом надо отбросить в делителе 0,015 запятую и установить, что получившееся число 15 больше числа 0,015 в 1000 раз:

15 = 0,015 х 1000.

Чтобы частное не изменилось, необходимо увеличить в 1000 раз делимое:

31,26 х 1000 = 31260.

Последний шаг — деление числа 31260 на натуральное число 15:

31260 : 15 = 2084.

Запись деления 31,26 на 0,015 может быть такой:

31,26 : 0,015 = (31,26 х 1000) : (0,015 х 1000) = 2084.

postheadericon Деление десятичной дроби на натуральное число. Среднее арифметическое

Как только в ходе деления десятичной дроби на натуральное число сносится цифра, стоящая в разряде десятых, заканчивается деление целой части и в частном надо ставить запятую. Например, разделим 31,26 на 3:

 31,26 3
-3 10,42
 01
-00
   12
  -12
    06
    -6
     0

Как только в ходе деления сносится цифра 2, которая стоит в разряде десятых, заканчивается деление целой части и в частном ставится запятая.

Чтобы найти среднее арифметическое нескольких чисел, надо сложить эти числа и разделить полученную сумму на количество чисел. Например, найдем среднее арифметическое чисел 52,3; 61,2; 63; 54,7:

52,3 + 61,2 + 63 +54,7 = 231,2;

231,2 : 4 = 57,8.

Чтобы подписаться на рассылку, заполните форму:

Ваш e-mail: *
Ваше имя: *
Опрос:

Наибольшее количество теоретического материала по какому предмету Вы бы хотели получать?

View Results

Loading ... Loading ...
Содержание
Показать все | Скрыть все